a

Friday, 29 November 2013

Contoh Soal Pemprograman Linear (Riset Operasi)

contoh soal riset operasi
ANALISIS SENSITIVITAS

Analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit  parameter untuk melihat berapa besar
perubahan dapat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya, ini
dinamakan  Analisa Sensitivitas.

Berdasarkan Model Matematika Persoalan Program Linier di atas analisis sensitivitas
dapat dikelompokkan berdasarkan perubahan-perubahan parameter:  
(1).  Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj),
(2).  Perubahan Koefisien teknologi (aij) (koefisien inpu-output),
(3).  Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala) (bi),  
(4).  Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m)  
(5). Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj) (perubahan nilai n).

contoh soal :

Suatu perusahaan memproduksi jaket dan tas yang terbuat dari kulit. Sebuah jaket memerlukan 3 meter persegi kulit, sedangkan sebuah tas memerlukan hanya 2 meter persegi.Kebutuhan kerja untuk produk tersebut masing-masing adalah 6 jam untuk jaket dan 5 jam untuk tas. Jumlah kulit  yang tersedia saat ini 120 meter per segi dan jumlah yang tersedia saat ini 120 meter per segi dan jumlah tenaga kerja dibatasi 270 jam. Perusahaan menjual jaket dan tas masing-masing dengan harga $120 dan $85 dan dengan harga tersebut perusahaan memperoleh keuntungan $65 per unit jaket dan $44 per unit tas. Tujuan perusahaan adalah untuk menentukan keputusan produksi yang memaksimumkan keuntungan.

pertanyaan:

1. Rumuskanlah persoalan tersebut kedalam model Linear Programming dan berapa jumlah              jaket dan tas yang harus diproduksi.
2. Jika perusahaan mengurangi jumlah tenaga kerja sehingga jam kerja yang tersedia menjadi 250 jam,sehingga jam kerja yang tersedia menjadi 250 jam,apakah keputusan ini tepat?
3. Jika permintaan masyarakat terhadap tas meningkat sehingga harga tas naik menjadi $90, apakah keputusan produksi akan berubah? Jelaskan.











SOLUSI :

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 2620.000

VARIABLE         VALUE             REDUCED COST

        X1           20.000000             0.000000
        X2           30.000000             0.000000

ROW                 SLACK OR SURPLUS       DUAL PRICES

  2)                          0.000000                        20.333334
  3)                          0.000000                          0.666667


Hasil Analisis sensitifitas

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

                       OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE       CURRENT        ALLOWABLE       ALLOWABLE
                           COEF               INCREASE         DECREASE
    X1                65.000000           1.000000           12.200001
    X2                44.000000         10.166667             0.666667
    X2                44.000000          10.166667            0.666667

                          RIGHTHAND SIDE RANGES

  ROW              CURRENT          ALLOWABLE      ALLOWABLE
                               RHS                 INCREASE         DECREASE
      2                  120.000000            15.000000         12.000000
      3                  270.000000            30.000000         30.000000







METODE SIMPLEX
Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki
variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untuk
menyelesaikannya digunakan Metode Simplex.
Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:
1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).
2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai
tersebut harus dikalikan –1.
3. Fungsi kendala dengan tanda “≤” harus diubah ke bentuk “=” dengan
menambahkan variabel  slack/surplus. Variabel  slack/surplus disebut juga
variabel dasar.
4. Fungsi kendala dengan tanda “≥” diubah ke bentuk “≤” dengan cara
mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan
ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan
lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).
5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).

Contoh soal:
Z = 3X1 + 5X2
Kendala:
1) 2X1  ≤  8
2)  3X2 ≤  15
3) 6X1 + 5X2 ≤  30
Langkah-langkah:
1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala  (lihat beberapa ketentuan yang
harus diperhatikan di atas!)
Fungsi tujuan
Z = 3X1 + 5X2   =>  Z - 3X1 - 5X2  = 0
Fungsi kendala
1) 2X1  ≤  8 => 2X1   +  X3  =  8
2)   3X2 ≤  15 =>  3X2         + X4 =  15
3) 6X1 + 5X2 ≤ 30 => 6X1 + 5X2    + X5 =  30
(X3, X4 dan X5 adalah variabel slack)

2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel

VarDsr    Z     X1     X2    X3    X4     X5   NK    index
Z              1     -3     -5      0       0       0      0  
X3            0      2      0      1       0       0      8  
X4            0      0      3      0       1       0      15  
X5            0      6      5      0       0       1      30  

3. Memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai
negatif dengan angka terbesar.

Var.Dsr    Z    X1    X2    X3    X4    X5    NK   index
     Z         1   -3      -5      0      0      0      0  
    X3        0     2      0       1     0       0      8  
     X4       0     0      3       0     1       0     15  
     X5       0      6     5       0     0       1     30   

4. Memilih baris kunci
Nilai kanan (NK)
Nilai kolom kunci
Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil

Var.Dsr     Z    X1    X2    X3    X4    X5    NK    index
   Z           1     -3     -5      0      0      0      0  
   X3         0      2      0      1      0      0      8          ~
    X4        0      0      3      0      1      0     15         5
    X5        0      6      5      0      0      1     30         6
Index = Nilai kanan (NK) : Nilai kolom kunci











5. Mengubah nilai-nilai baris kunci
=> dengan cara membaginya dengan angka kunci
Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci
sehingga tabel menjadi seperti berikut:

Var.Dsr     Z     X1     X2     X3     X4    X5    NK     index
   Z            1     -3      -5      0        0      0      0  
   X3          0      2       0      1         0     0      8          ~
   X2          0      0       1      0       1/3    0      5          5
   X5          0      6       5      0         0     1      30         6

6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci
(selain baris kunci) = 0
Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci  x  nilai baris
baru kunci)

Baris Z
Baris lama      [ -3     -5   0    0     0    0 ]
NBBK         -5 [   0     1    0   1/3   0    5 ]
                 _______________________   _
Baris baru          -3     0   0   5/3    0   25

Baris X3
Baris lama       [   2   0   1   0     0   8 ]
NBBK          0   [   0   1   0  1/3   0   5 ]
                  _______________________  _
Baris baru             2   0   1    0    0    8

Baris X5
Baris lama     [   6   5   0    0     1   30 ]
NBBK         5 [    0   1   0  1/3    0    5 ]
                 ______________________  _
Baris baru           6   0   0  -5/3   1    5







Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi sebagai berikut

Var.Dsr     Z     X1    X2     X3    X4    X5    NK    index
    Z           1     -3      0       0     5/3     0     25  
   X3          0      2      0       1       0      0      8
   X2          0      0      1       0     1/3     0      5  
    X5         0      6      0       0     -5/3    1      5


7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada
nilai negatif
Var.Dsr        Z      X1     X2     X3     X4     X5       NK        index
    Z              1      -3      0        0      5/3      0       25  
   X3             0       2      0        1       0        0        8             4
   X2             0       0      1        0     1/3       0        5             ~
   X5             0       6      0        0     -5/3      1        5            5/6

    Z              1       0      0        0      5/6    1/2      27½      Zmax
    X3            0       0      0        1      5/9   -1/3      6 1/3  
    X2            0       0      1        0      ⅓        0          5
     X1           0       1      0        0    -5/18    1/6      5/6


  Diperoleh hasil:   X1 = 5/6 , X2 = 5, Zmax = 27 ½